Question

如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，P，E分别是边AB，BC上的点，D为△ABC外一点，DE⊥BC，DE=EC，BE=2EC，∠BDE=∠PEC，AD∥PE，AC=4，则线段BC的长为

12

．

Answer 1

分析：作DF⊥AC，交AC的延长线于F点，易证得四边形CECF为矩形，由DE=EC，可判断四边形CECF为正方形，则DE=DF；再利用PE∥AD，EC∥DF得∠1=∠PEC，∠1=∠2，则∠2=∠PEC，而∠BDE=∠PEC，代换后得∠BDE=∠2，然后根据“AAS”判断△BDE≌△ADF，于是BE=AF，即2DE=AC+DF=AC+DE，可计算出DE=4，最后利用BC=3DE计算计算即可．

解答：解：作DF⊥AC，交AC的延长线于F点，如图，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BED=90°，
而∠ACB=90°，
∴四边形CECF为矩形，
∵DE=EC，
∴四边形CECF为正方形，
∴DE=DF，
∵PE∥AD，EC∥DF，
∴∠1=∠PEC，∠1=∠2，
∴∠2=∠PEC，
∵∠BDE=∠PEC，
∴∠BDE=∠2，
在△BDE和△ADF中，

∠BED=∠F ∠BDE=∠2 DE=DF

，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，
∵BE=2DE，
∴2DE=AC+CF，
∴DE=AC=4，
∴BC=BE+EC=3DE=12．
故答案为12．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了正方形的判定与性质．