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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知抛物线与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个根（x1＜x2）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）过点A作AD∥CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积；
    （3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
    【答案】分析：（1）可通过解方程求出A、B的坐标，代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．（由于A、B的坐标是方程的两个根，那么抛物线的解析式其实就是二次项系数与方程的代数式部分的乘积）．
    （2）可将四边形分成三角形ABC和ABD两部分求解，已知了AB的长，关键是求出C、D的坐标，根据抛物线的解析式即可得出C点的坐标．求D点坐标时，可先求出直线BC的解析式，根据BC∥AD，那么直线AD与直线BC的斜率相同，根据A点坐标即可求出直线AD的解析式，联立抛物线即可求出D点的坐标，然后按上面所说的四边形的面积求法进行计算即可．
    （3）先根据直线AC、BC的解析式设出P、Q的坐标（由于P、Q的纵坐标相同，因此可设纵坐标，然后根据直线解析式表示出横坐标）．分三种情况：
    ①PQ=PR，此时P点纵坐标与PQ的长相等，据此可求出P点的坐标．进而可求出R的坐标．
    ②PQ=QR，同①
    ③PR=QR，R在PQ的垂直平分线上，此时P点的纵坐标是PQ的一半．由此可求出P点的坐标．进而可求出R的坐标．
    解答：解：（1）解方程x2-2x-3=0，
    得x1=-1，x2=3．
    ∴点A（-1，0），点B（3，0）．
    ∴，
    解，得，
    ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2．

    （2）∵抛物线与y轴交于点C．
    ∴点C的坐标为（0，2）．
    又点B（3，0），可求直线BC的解析式为y=-x+2．
    ∵AD∥CB，
    ∴设直线AD的解析式为y=-x+b′．
    又点A（-1，0），
    ∴b′=-，直线AD的解析式为y=-x-．
    解，
    得，
    ∴点D的坐标为（4，）．
    过点D作DD’⊥x轴于D’，DD’=，则又AB=4．
    ∴四边形ACBD的面积S=AB•OC+AB•DD’=．

    （3）假设存在满足条件的点R，设直线l交y轴于点E（0，m），
    ∵点P不与点A、C重合，
    ∴0＜m＜2，
    ∵点A（-1，0），点C（0，2），
    ∴可求直线AC的解析式为y=2x+2，
    ∴点P（m-1，m）．
    ∵直线BC的解析式为y=-x+2，
    ∴点Q（-m+3，m）．
    ∴PQ=-2m+4．在△PQR中，
    ①当RQ为底时，过点P作PR1⊥x轴于点R1，则∠R1PQ=90°，PQ=PR1=m．
    ∴-2m+4=m，
    解得m=，
    ∴点P（-，），
    ∴点R1坐标为（，0）．
    ②当RP为底时，过点Q作QR2⊥x轴于点R2，
    同理可求，点R2坐标为（1，0）．
    ③当PQ为底时，取PQ中点S，过S作SR3⊥PQ交x轴于点R3，
    则PR3=QR3，∠PR3Q=90度．
    ∴PQ=2R3S=2m．
    ∴-2m+4=2m，
    解，得m=1，
    ∴点P（-，1），点Q（，1），可求点R3坐标为（，0）．
    经检验，点R1，点R2，点R3都满足条件．
    综上所述，存在满足条件的点R，它们分别是R1（，0），R2（1，0）和点R3（，0）．
    点评：本题考查一元二次方程的解法，二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
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    精英家教网如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
    （3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．

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    精英家教网如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．
    （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
    （2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
    （3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

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    已知抛物线与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），抛物线顶点为D，连接AD，AC，CD．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）△ACD与△COB是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由；
    （3）抛物线的对称轴与线段AC交于点E，求△CED的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点P在x轴下方的抛物线上，且△PAB的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标；
    （3）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•岳阳一模）如图，已知抛物线与x轴交于A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C（0，-2）点．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）设G是线段BC上的动点，作GH∥AC交AB于H，连接CH，当△BGH的面积是△CGH面积的3倍时，求H点的坐标；
    （3）若M为抛物线上A、C两点间的一个动点，过M作y轴的平行线，交AC于N，当M点运动到什么位置时，线段MN的值最大，并求此时M点的坐标．

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