Question

14．如图，在平面直角坐标系中，过点A的两条直线分别交y轴于B（0，3）、C（0，-1）两点，且∠ABC=30°，AC⊥AB于A．
（1）求线段AO的长，及直线AC的解析式；
（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△AOB中，利用三角函数的定义可求得AO的长，则可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（2）由DB=D可知点D的在线段BC的垂直平分线上，可求得D点的纵坐标，再由直线AC的解析式可求得D点坐标；
（3）由B、D的坐标可求得直线BD的解析式，则可设出P点坐标，从而可表示出BP、AP和AB的长，分BP=AP、BP=AB和AP=AB三种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵B（0，3），
∴OB=3，
∵∠ABC=30°，
∴$\frac{AO}{BO}$=tan30°，即$\frac{AO}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，0），且C（0，-1），
∴可设直线AC解析式为y=kx-1，
把A点坐标代入可得0=-$\sqrt{3}$k-1，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1；
（2）∵DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∵B（0，3），C（0，-1），
∴线段BC的中点为（0，1），
∴D点纵坐标为1，
∵点D在直线AC上，
∴1=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，解得x=-2$\sqrt{3}$，
∴D点坐标为（-2$\sqrt{3}$，1）；
（3）∵B（0，3），D（-2$\sqrt{3}$，1），
∴可设直线BD解析式为y=mx+3，
∴1=-2$\sqrt{3}$m+3，解得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线BD解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴可设P点坐标为（t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+3），
∵A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，3），
∴BP=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}t+3-3）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|t|，AP=$\sqrt{（t+\sqrt{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}t+3）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}{t}^{2}+\sqrt{3}t+3}$，AB=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
当以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，有BP=AP、BP=AB和AP=AB三种情况，
①当BP=AP时，则有$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|t|=2$\sqrt{\frac{1}{3}{t}^{2}+\sqrt{3}t+3}$，解得t=-$\sqrt{3}$，此时P点坐标为（-$\sqrt{3}$，2）；
②当BP=AB时，则有$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|t|=2$\sqrt{3}$，解得t=3或t=-3，此时P点坐标为（3，$\sqrt{3}$+3）或（-3，3-$\sqrt{3}$）；
③当AP=AB时，则有2$\sqrt{\frac{1}{3}{t}^{2}+\sqrt{3}t+3}$=2$\sqrt{3}$，解得t=0（此时与B点重合，舍去）或t=-3$\sqrt{3}$，此时P点坐标为（-3$\sqrt{3}$，0）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（-$\sqrt{3}$，2）或（3，$\sqrt{3}$+3）或（-3，3-$\sqrt{3}$）或（-3$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中利用三角函数求AO的长是解题的关键，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出PA、PB及AB的长是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．