Question

14．如图，?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AF⊥AB，交线段BE于点F，G为AE上一点，AG：GE=1：5，连结GF并延长交边BC于点H．若GE：BH=1：2，且AB=6，则BH=10；△AFG的面积=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 设AG=a，根据已知求出AB=AE=6a=6，求出a=1，即可得出BH=10，AG=1，根据相似三角形对应高的比等于相似比，求得∠NAF=30°，进而求得∠DAB=120°，从而求得∠FBM=30°，求出FM的长，求出FN的长，根据三角形的面积公式求出即可．

解答 解；过F点作MN⊥BC，则MN⊥AD，设AG=a，

∵AG：GE=1：5，GE：BH=1：2，
∴EG=5a，BH=10a，AE=6a，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=6，
∴a=1，
∴AG=1，GE=5，AE=6，BH=10，
∵BE是∠ABE的平分线，
∵FA⊥AB，FM⊥BC，
∴FM=FA，
在Rt△ABF与Rt△MBF中
$\left\{\begin{array}{l}{FA=FM}\\{FB=FB}\end{array}\right.$
∴Rt△ABF≌Rt△MBF（HL），
∴BM=AB=6，
∵AD∥BC，
∴△EFG∽△BFH，
∴$\frac{FN}{FM}$=$\frac{GE}{BH}$=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，
∵FA=FM，
∴FN：FA=1：2，
∴在Rt△AFN中，∠EAF=30°，
∵∠FAB=90°，
∴∠DAB=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠MBF=30°，
∵在Rt△MBF中，FM=tan30°•BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×6=2$\sqrt{3}$，
∴FN=$\sqrt{3}$，
∴△AFG的面积为$\frac{1}{2}$×AG×FN=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：10，$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，角的平分线的性质，在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角等于30°，作出辅助线是本题的关键．