Question

请阅读下面知识：
梯形中位线的定义：梯形两腰中点的连线，叫做梯形的中位线．如图，E，F是梯形ABCD两腰AB，CD的中点，则EF是梯形的中位线梯形中位线与两底长度的关系：梯形中位线长度等于两底长的和的一半如图：EF=

1

2

（AD+BC）利用上面的知识，完成下面题目的解答已知：直线l与抛物线M交于点A，B两点，抛物线M的对称轴为y轴，过点A，B作x轴的垂线段，垂足分别为D，C，已知A（-1，3），B（

1

2

，

3

2

）
（1）求梯形ABCD中位线的长度；
（2）求抛物线M的解析式；
（3）把抛物线M向下平移k个单位，得抛物线M₁（抛物线M₁的顶点保持在x轴的上方），与直线l的交点为A₁，B₁，同样作x轴的垂线段，垂足为D₁，C₁，问此时梯形A₁B₁C₁D₁的中位线的长度（设为h）与原来相比是否发生变化？若不变，说明理由．若有改变，求出h与k的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据A、B两点的坐标求出AD、BC的长度，再由中位线定理求出梯形ABCD中位线的长度即可；
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+b（a≠0），把A、B两点的坐标代入即可求出ab的值，进而得出抛物线的解析式；
（3）把直线AB的解析式同抛物线的解析式联立即可出x₁、x₂的表达式，再代入直线AB的解析式即可得出A₁、B₁的坐标，进而可得出A₁D₁及B₁C₁的长度，由中位线定理即可求出梯形A₁B₁C₁D₁的中位线的长度．

解答：解：（1）∵A（-1，3），B（

1

2

，

3

2

）
∴AD=3，BC=

3

2

，
∴梯形ABCD中位线=

1

2

（AD+BC）=

1

2

×（3+

3

2

）=

9

4

；

（2）设抛物线的解析式为y=ax²+b（a≠0），
∵点A（-1，3），B（

1

2

，

3

2

）在抛物线上，
∴

a+b=3 1 4 a+b= 3 2

，解得

a=2 b=1

，
∴抛物线的解析式为：y=2x²+1；

（3）∵抛物线M向下平移k个单位得抛物线M₁，
∴抛物线M₁的解析式为y=2x²+1-k，
∴

y=-x+2 y=2x2+1-k

，
解得x₁=

-1- 8k+9

4

，x₂=

-1+ 8k+9

4

（其中x₁＜x₂）
代入y=-x+2得，y₁=-

-1- 8k+9

4

+2，y₂=-

-1+ 8k+9

4

+2，
∴y₁+y₂=（-

-1- 8k+9

4

）+（-

-1+ 8k+9

4

）=

9

2

，
∴梯形A₁B₁C₁D₁的中位线长为

9

4

，保持不变．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、梯形的中位线定理等相关知识，难度适中．