分析 (1)连接OD,得到∠DOE=2∠DAE,由角平分线得到∠BAC=2∠DAE,得出∠DOE=∠BAC,得到OD∥AC即可;
(2)由OD∥AC一个A型和一个X型相似图形,先求出BD,作出DH⊥AB,利用三角函数求出∠B,进而得出OB,利用角平分线的性质得出DH=3,从而求出圆的半径,即可.
解答 解:(1)BC是⊙O的切线,
理由:如图,
连接OD,
∵AD为∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠BAD,
∵∠DOE=2∠BAD,
∴∠DOE=∠BAC,
∴OD∥AC,
∴∠ODB=∠ACB=90°,
∵点D在⊙O上,
∴BC是⊙O的切线.
(2)如图2,
连接OD,
由(1)知,OD∥AC,
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{OF}{FC}$,
∵$\frac{OF}{FC}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{2}{3}$,
∵OD∥AC,
∴$\frac{DB}{BC}=\frac{OD}{AC}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{DB}{CD}=\frac{2}{1}$
∵CD=3,
∴DB=6,
过点D作DH⊥AB,
∵AD是∠BAC的角平分线,∠ACB=90°,
∴DH=CD=3,
在Rt△BDH中,DH=3,BD=6,
∴sin∠B=$\frac{DH}{DB}=\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,
∴∠B=30°,BO=$\frac{BD}{cos∠B}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$,
∴∠BOD=60°,
在Rt△ODB中,sin∠DOH=$\frac{DH}{OD}$,
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{OD}$,
∴OD=2$\sqrt{3}$,
∴BE═OB-OE=OB-OD=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$.
点评 此题是直线和圆的位置关系,主要考查了圆的性质,切线的判定,锐角三角函数,相似三角形,解本题的关键是求出BD.
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