精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A、D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点O).

(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R;
①求证:PF=PR
②是否存在点P,使得△PFR为等边三角形;若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
③延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为点S,试判断△RSF的形状.

(1);(2)①过点P作PG⊥y轴,垂足为G,由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),则,根据点P(a,b)为抛物线上的动点可得,变形得:,在Rt△PGF中,根据勾股定理即可证得结论;②存在,(,-3),(,-3);③直角三角形

解析试题分析:(1)由题意可得点A的坐标为(2,-1),根据抛物线的顶点为坐标原点O可设抛物线的解析式为,再将点A(2,-1)代入即可求得结果;
(2)①过点P作PG⊥y轴,垂足为G,由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),则,根据点P(a,b)为抛物线上的动点可得,变形得:,在Rt△PGF中,根据勾股定理即可证得结论;
②由P(a,b),F(0,-1),R(a,1),根据勾股定理可表示出RF的长,由①可知:PF=PR=1-b,则可得当时△PFR为等边三角形,从而可以求得结果;
③连接SF、RF,由PF=PR;PR∥FO可得∠1=∠2,∠1=∠3,即得,同理可得,则,即可得到结果.
(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1)
∵抛物线的顶点为坐标原点O
∴可设抛物线的解析式为:
将点A(2,-1)代入可得:;解得
∴抛物线的解析式为:
(2)①过点P作PG⊥y轴,垂足为G

由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1)

∵点P(a,b)为抛物线上的动点
,变形得:
在Rt△PGF中,由勾股定理可得:
∴PF=PR;
②存在点P,使得△PFR为等边三角形;
∵P(a,b),F(0,-1),R(a,1)

由①可知:PF=PR=1-b
∴当时△PFR为等边三角形
解得:(不合题意,舍去)
∴当时,有,解得:
∴点P的坐标为(,-3),(,-3);
③△RSF为直角三角形.
如图,连接SF、RF

∵PF=PR;PR∥FO
∴∠1=∠2;∠1=∠3

同理可得:

∴△RSF为直角三角形.
考点:二次函数的综合题
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图所示,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积;
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似?若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点,C为抛物线的顶点,过点A作AP∥精英家教网BC交抛物线于点P.
(1)求A,B,C三点坐标;
(2)求四边形ACBP的面积;
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在点M,过点M作ME⊥x轴于点E,使A,M,E三点为顶点的三角形与△PCA相似?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和点(-2,0),则2a-3b
 
0.(>、<或=)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图所示,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),抛物线的对称轴x=2交x轴于点E.
(1)求交点A的坐标及抛物线的函数关系式;
(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在点P,使点P与A,B,C三点构成一个平行四边形?若存在,请直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接CB交抛物线对称轴于点D,在抛物线上是否存在一点Q,使得直线CQ把四边形DEOC分成面积比为1:7的两部分?若存在,请求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•衡阳)如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A,D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点O)
(1)求此抛物线的解析式.
(2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R,
①求证:PF=PR;
②是否存在点P,使得△PFR为等边三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
③延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为S,试判断△RSF的形状.

查看答案和解析>>

同步练习册答案