Question

【题目】如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，交⊙O于点D．连接CD交AB于点E，延长BD和CA相交于点P，过点A作AG∥CD交BP于点G．

（1）求证：直线GA是⊙O的切线；

（2）求证：AC2＝GDBD；

（3）若tan∠AGB＝，PG＝6，求cos∠P的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）欲证明直线GA是⊙O的切线，只需推知OA⊥GA即可；

（2）根据折叠的性质得到：AC＝AD．通过相似三角形△BAD∽△AGD的对应边成比例得到：．所以AC2＝AD2＝GDBD．

（3）cos∠P＝，所以需要求得线段PD、PA的长度；利用（2）中的AD2＝GDBD和锐角三角函数的定义求得BD＝2GD；根据△PAG∽△PBA是对应边成比例得到：PA2＝PGPB，即PA2＝6（6+3GD）；结合勾股定理知PA2＝AD2+PD2．所以6（6+3GD）＝（）2+（6+GD）2．利用方程思想求得答案．

（1）证明：∵将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，

∴BC＝BD．

∴点B在CD的垂直平分线上．

同理得：点A在CD的垂直平分线上．

∴AB⊥CD即OA⊥CD，

∵AG∥CD．

∴OA⊥GA．

∵OA是⊙O的半径，

∴直线GA是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°．

∴∠ABD+∠BAD＝90°．

∵∠GAB＝90°，

∴∠GAD+∠BAD＝90°．

∴∠ABD＝∠GAD．

∵∠ADB＝∠ADG＝90°，

∴△BAD∽△AGD．

∴．

∴AD2＝GDBD．

∵AC＝AD，

∴AC2＝GDBD；

（3）解：∵tan∠AGB＝，∠ADG＝90°，

∴．

∴．

∵AD2＝GDBD，

∴BD＝2GD．

∵＝，

∴∠GAD＝∠GBA＝∠PCD．

∵AG∥CD，

∴∠PAG＝∠PCD．

∴∠PAG＝∠PBA．

∵∠P＝∠P，

∴△PAG∽△PBA．

∴PA2＝PGPB

∵PG＝6，BD＝2GD，

∴PA2＝6（6+3GD）．

∵∠ADP＝90°，

∴PA2＝AD2+PD2．

∴6（6+3GD）＝（）2+（6+GD）2．

解得：GD＝2或GD＝0（舍去）．

∴PD＝8，AP＝6，

∴cos∠P＝．