Question

如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A，C的坐标分别为（-1，0），（0，

3

2

）
（1）求此抛物线对应的函数的解析式；
（2）若点P是此抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先设函数的解析式为，y=a（x-1）²+b，然后把A，C的坐标值分别带代入，可求出ab的值，即得函数的解析式．
（2）根据题意可知，当P是函数的顶点时，△ABP的面积最大，因为此时P点的纵坐标值最大，面积就最大．

解答：解：设函数的解析式是y=a（x-1）²+b，
把（-1，0）；（0，

3

2

）代入解析式可得；

4a+b=0 a+b= 3 2

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
则解析式为y=-

1

2

（x-1）²+2，
化简得：y=-

1

2

x²+x+

3

2

．

（2）设P点的坐标是（x₁，y₁），
∵S_△ABP=

1

2

AB×y₁，AB的值固定，只有当y₁最大时，则S有最大值．也就是当y₁=2时，有最大值．
令y=-

1

2

x²+x+

3

2

=0，
解得，x₁=-1，x₂=3，
即B点坐标为（3，0），
则AB=4，
那么S_△ABP=

1

2

×4×2=4．

点评：本题利用了待定系数法求函数解析式，在设函数解析式时，要根据需要来设，由于给出了对称轴，
故应设为y=a（x-1）²+b的形式才好求，还用到了三角形的面积公式等知识．