Question

【题目】如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．

（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长；

（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，

①求证：△EFG是等腰三角形；②求AF的长；

（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E到AD的距离是4，且BG＝5时，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）AF＝3；（2）①见解析；②AF＝6；（3）AF＝1

【解析】

（1）根据翻折的性质可得BF＝EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；

（2）①根据翻折的性质可得∠BGF＝∠EGF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BGF＝∠EFG，从而得到∠EGF＝∠EFG，再根据等角对等边证明即可；

②根据翻折的性质可得EG＝BG，HE＝AB，FH＝AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式计算即可得解；

（3）设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根据△GEN和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根据△FKH和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，

∴BF＝EF，

∵AB＝8，

∴EF＝8﹣AF，

在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，

即42+AF2＝（8﹣AF）2，

解得AF＝3；

（2）①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，

∴∠BGF＝∠EGF，

∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，

∴∠BGF＝∠EFG，

∴∠EGF＝∠EFG，

∴EF＝EG，

∴△EFG是等腰三角形；

②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，

∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，

∴EF＝EG＝10，

在Rt△EFH中，FH＝＝6，

∴AF＝FH＝6；

（3）解：如图3，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，

∵E到AD的距离为4，

∴EM＝4，EN＝8﹣4＝4，

在Rt△ENG中，EG=BG=5，

∴GN＝＝3，

∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，

∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，

∴∠KEM＝∠NGE，

又∵∠ENG＝∠KME＝90°，

∴△GEN∽△EKM，

∴，

即，

解得EK＝，KM＝，

∴KH＝EH﹣EK＝8﹣＝，

∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，

∴△FKH∽△EKM，

∴，

即，

解得FH＝1，

∴AF＝FH＝1．