Question

【题目】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，D是AB边上一动点，连接CD交AE于点P，连接BP．已知AB =6cm，设B，D两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm．

小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整:

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，与x的几组对应值：

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y1/cm	2.49	2.64	2.88	3.25	3.80	4.65	6.00
y2/cm	4.59	4.24	3.80	3.25	2.51		0.00

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，)，并画出函数y1，的图象；

（3）结合函数图象，回答下列问题：

①当AP=2BD时，AP的长度约为 cm；

②当BP平分∠ABC时，BD的长度约为 cm．

Answer 1

【答案】（1）1.5；（2）详见解析；（3）答案不唯一，如：①3.86；②3

【解析】

（1）用光滑的曲线连接y2图象现有的点，在图象上，测量出x=5时，y的值即可；
（2）描点连线即可绘出函数图象；
（3）①当AP=2BD时，即y2=2x，在图象上画出直线y=2x，该图象与y2的交点即为所求；
②从表格数据看，当x=3时，y1=y2=3.25，故当BP平分∠ABC时，此时点P是△ABC的内心，故点D在AB的中点，即可求解．

解：（1）根据测量结果得到：

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y1/cm	2.49	2.64	2.88	3.25	3.80	4.65	6.00
y2/cm	4.59	4.24	3.80	3.25	2.51	1.5	0.00

（2）画出函数的图象；

（3）①当AP=2BD时，即y2=2x，
在图象上画出直线y=2x，该图象与y2的交点即为所求，即图中空心点所示，

空心点的纵坐标为3.86，
②从表格数据看，当x=3时，y1=y2=3.25，
即点D在AB中点时，y1=y2，即此时点P在AB的中垂线上，则点C在AB的中垂线上，则△ABC为等腰三角形，
故当BP平分∠ABC时，此时点P是△ABC的内心，故点D在AB的中点，

故答案可以为：①3.86；②3．