Question

2．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
（1）当m=3时，点B的坐标为（3，4），点E的坐标为（0，1）；
（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
（3）如图，若点E的纵坐标为-1，且点（$2\sqrt{5}$，a）落在△ADE的内部，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；
（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可；
（3）过点E作EF⊥AB于F，EF分别与 AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，首先利用勾股定理求得线段DP的长，从而求得线段BF的长，再利用△AFG∽△ABD得到比例线段求得线段FG的长，最后求得a的取值范围．

解答 解：（1）点B的坐标为（3，4），
∵AB=BD=3，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°，
则∠DAE=∠BAD=45°，
则E在y轴上．
AE=AB=BD=3，
∴四边形ABDE是正方形，OE=1，
则点E的坐标为（0，1）；
故答案为（3，4），（0，1）；

（2）点E能恰好落在x轴上．理由如下：
∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°，
由折叠的性质可得：DE=BD=OA-CD=4-1=3，AE=AB=OC=m，
如图1，假设点E恰好落在x轴上，在Rt△CDE中，由
勾股定理可得EC=$\sqrt{D{E}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
则有OE=OC-CE=m-2$\sqrt{2}$，
在Rt△AOE中，OA²+OE²=AE²
即4²+（m-2$\sqrt{2}$）²=m²，解得m=3$\sqrt{2}$；

（3）如图，过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP=PH+EH=DC+EH=2，
在Rt△PDE中，由勾股定理可得$\sqrt{D{E}^{2}-E{P}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BF=DP=$\sqrt{5}$，
在Rt△AEF中，AF=AB-BF=m-$\sqrt{5}$，EF=5，AE=m
∵AF²+EF²=AE²
∴（m-$\sqrt{5}$）²+5²=m²，
解得m=3$\sqrt{5}$，
∴AAB=3$\sqrt{5}$，AF=2$\sqrt{5}$，E（2$\sqrt{5}$，-1）
∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD
∴△AFG∽△ABD
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{FG}{BD}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$=$\frac{FG}{3}$，
解得FG=2，
∴EG=EF-FG=3
∴点G的纵坐标为2，
∵点（$2\sqrt{5}$，a）在直线x=2$\sqrt{5}$上，且点（$2\sqrt{5}$，a）落在△ADE的内部，
∴此点必在EG上，
∴-1＜a＜2，
故a的取值范围为-1＜a＜2．

点评 本题考查了二次函数的综合知识，是一道有关折叠的问题，主要考查二次函数、矩形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．