Question

如图5­3­18，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE.

(1)判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

解：(1)CD与⊙O相切，理由如下：

∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC.

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.

∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.

∴CD与⊙O相切．

(2)如图31，连接EB.

由AB为直径，得到∠AEB＝90°，

∴EB∥CD，F为EB的中点．

∴OF为△ABE的中位线．

∴OF＝AE＝，即CF＝DE＝.

在Rt△OBF中，根据勾股定理，

得EF＝FB＝DC＝，

则S_阴影＝S_△DEC＝××＝.

     

图31          　　　　图32