Question

15．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，则sin∠B′EC的值为$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 先过B'作BC的垂线，交BC于F，交AD于G，则∠AGB'=∠B'FE=90°，设B'F=x，则B'G=4-x，根据△AGB'∽△B'FE，即可得到EF=3-$\frac{3}{4}$x，在Rt△EFB'中，EF²+B'F²=B'E²，列方程即可得到x=$\frac{72}{25}$，进而得到sin∠B′EC的值．

解答 解：如图所示，过B'作BC的垂线，交BC于F，交AD于G，则∠AGB'=∠B'FE=90°，
由折叠可得，∠AB'E=∠B=90°，
∴∠GAB'=∠FB'E，
∴△AGB'∽△B'FE，
∴$\frac{EF}{B'G}$=$\frac{EB'}{B'A}$，
由折叠可得AB'=AB=4，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴B'E=BE=3，
设B'F=x，则B'G=4-x，
∴$\frac{EF}{4-x}$=$\frac{3}{4}$，即EF=$\frac{3}{4}$（4-x）=3-$\frac{3}{4}$x，
∵Rt△EFB'中，EF²+B'F²=B'E²，
∴（3-$\frac{3}{4}$x）²+x²=3²，
解得x=$\frac{72}{25}$，
∴Rt△B'EF中，sin∠B′EC=$\frac{B'F}{B'E}$=$\frac{\frac{72}{25}}{3}$=$\frac{24}{25}$．
故答案为：$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是：设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．