Question

【题目】如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C，连接OC，AO延长线交⊙O于点D，OF是∠DOB的平分线，E为OF上一点，连接BE．

（1）求证：AB与⊙O相切；

（2）①当∠OEB=_____时，四边形OCBE为矩形；

②在①的条件下，若AB=4，则OA=_____时，四边形OCBE为正方形？

Answer 1

【答案】 90°

【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的三线合一得到OC⊥AB，根据切线的判定定理证明；

（2）①根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到OF∥BC，根据平行线的性质解答；

②根据邻边相等的矩形是正方形计算．

试题解析：（1）证明：∵OA=OB，C是边AB的中点，∴OC⊥AB，∴AB与⊙O相切；

（2）解：①当∠OEB=90°时，四边形OCBE为矩形，证明如下：

∵OA=OB，∴∠A=∠OBA．∵OF是∠DOB的平分线，∴∠DOF=∠BOF，由三角形的外角的性质可知，∠DOF+∠BOF=∠A+∠OBA，∴∠BOF=∠OBA，∴OF∥BC，当∠OEB=90°时，∠CBE=90°，又OC⊥AB，∴四边形OCBE为矩形．故答案为：90°；

②当OA=2时，四边形OCBE为正方形，证明如下：

∵四边形OCBE为正方形，∴CO=CB，∴OA=OB==2．故答案为：2．