Question

【题目】已知如图1，在中，， ，，点分别是的中点，分别延长到点，使得，连接．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）如图2，连接，若平分．

①求的长；

②如图3，连接，分别交于点．求证：是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①5；②证明见解析．

【解析】

（1）根据一组对边平行且相等可得：四边形DBFG是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论；

（2）①如图2，过C作CH⊥DG于H，证明△ADE≌△CHE，得CH=AD，EH=DE，设CF=x，则BF=2+x，GH=CF=x，EG=x+1，根据平行线的性质和角平分线的定义得：EG=CG=x+1，结合勾股定理列方解方程可得结论；

②证明△DEM∽△FCM，得根据勾股定理计算AC、DF、CG的长，再结合可得MN=CM，得△MCN是等腰三角形．

证明：(1)如图1，∵点分别是的中点，

∴四边形是平行四边形，

∴是矩形；

(2)①如图2，过作于，

，

，，

设，则，

∵平分，

中，由勾股定理得：，

②如图：　，

，

由勾股定理得：，

，

，

是的中点，

，

，

同理得：，

，

，

，

，

，

是等腰三角形．