Question

如图，正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的一动点，（不与点A、D重合），以BP为直径在BP的右侧作半圆O，与边BC交于点K，边点O作OF∥AD，且与CD相交于点F，与半圆O相交于点E，连接KE，设AP=x，半圆O的面积为S，
（1）当x为何值时，四边形OBKE为菱形？
（2）试求出S与x的函数关系式．
（3）当x为何值时，CD与半圆相切？并求出此时S的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）由于OE∥BK，根据平行四边形的判定方法，当OE=BK时，四边形OBKE为平行四边形，加上OB=OE，则此时四边形OBKE为菱形，连接OK，如图，易得△OBK为等边三角形，则∠OBK=60°，∠ABP=30°，在Rt△ABP中利用含30度的直角三角形三边的关系得到x=

3

3

AB=

4 3

3

；
（2）在Rt△ABP中，根据勾股定理得PB²=AP²+AB²=x²+16，然后根据圆的面积公式得到S=

1

2

•π•（

PB

2

）²=

π

8

x²+2π；
（3）由于OF∥PD∥BC，则OF为梯形PBCD的中位线，所以OF=

1

2

（PD+BC）=4-

1

2

x，再根据OF⊥CD，根据切线的判定定理，当OF=

1

2

BP时，CD与半圆相切，所以BP=2OF=8-x，在Rt△ABP中利用勾股定理得（8-x）²=x²+4²，解得x=3，然后把x=3代入（2）中的函数关系式中计算出对应的S的值．

解答：解：（1）∵OE∥BK，
∴当OE=BK时，四边形OBKE为平行四边形，
而OB=OE，
∴此时四边形OBKE为菱形，
连接OK，如图，
∵OB=BK=OK，
∴△OBK为等边三角形，
∴∠OBK=60°，
∴∠ABP=30°，
在Rt△ABP中，∵AP=x，AB=4，
∴x=

3

3

AB=

4 3

3

；
（2）在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²=x²+4²=x²+16，
∴S=

1

2

•π•（

PB

2

）²=

1

2

π•

1

4

（x²+16）=

π

8

x²+2π；
（3）∵OF∥PD∥BC，
而OP=OB，
∴OF为梯形PBCD的中位线，
∴OF=

1

2

（PD+BC）=

1

2

（4-x+4）=4-

1

2

x，
∵OF⊥CD，
∴当OF=

1

2

BP时，CD与半圆相切，
∴BP=2OF=2（4-

1

2

x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=

π

8

x²+2π=

π

8

×9+2π=

25

8

π．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的切线的判定定理、菱形的判定方法、正方形的性质和梯形的中位线性质；会运用勾股定理进行几何计算．