Question

给出下列命题：
①对于实数u，v，定义一种运算“*“为：u*v=uv+v．若关于x的方程x*（a*x）=-

1

4

没有实数根，则满足条件的实数a的取值范围是0＜a＜1；
②设直线kx+（k+1）y-1=0（k为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S_k，则S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₈=

1004

2009

；
③函数y=-

1

x2

+

3

x

的最大值为2；
④甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有48种．
其中真命题的个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①根据新定义整理出一元二次方程，然后根据判别式△＜0，方程没有实数根列式得到关于a的不等式，求解不等式即可判断；
②求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据直角三角形的面积公式列式得到S_k的表达式，然后利用拆项法整理求解；
③先配方，再根据二次函数的最值问题求解；
④求出每一名同学的可能选修方法的种数，然后相乘即可得解．

解答：解：①根据新定义，x*（a*x）=x*（ax+x），
=x（ax+x）+（ax+x），
=（a+1）x²+（a+1）x，
所以，（a+1）x²+（a+1）x+

1

4

=0，
∵方程没有实数根，
∴△=（a+1）²-4（a+1）×

1

4

＜0，
即a（a+1）＜0，
解得-1＜a＜0，故本小题错误；

②当y=0时，kx-1=0，解得x=

1

k

，
当x=0时，（k+1）y-1=0，解得y=

1

k+1

，
所以，与x轴的交点坐标为（

1

k

，0），与y轴的交点坐标为（0，

1

k+1

），
∵k为正整数，
∴S_k=

1

2

×

1

k

×

1

k+1

=

1

2

1

k(k+1)

=

1

2

（

1

k

-

1

k+1

），
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₈=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2008

-

1

2009

），
=

1

2

（1-

1

2009

），
=

1

2

×

2008

2009

，
=

1004

2009

，故本小题正确；

③∵y=-

1

x2

+

3

x

=-（

1

x2

-

3

x

+

9

4

）+

9

4

=-（

1

x

-

3

2

）²+

9

4

，
∴当

1

x

=

3

2

，即x=

2

3

时，函数有最大值

9

4

，故本小题错误；

④设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，
同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，
所以，不同的选修方案共有6×4×4=96种，故本小题错误；
综上所述，真命题有②共1个．
故选A．

点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值问题，排列组合，综合性较强，难度较大，对同学们的能力要求比较高．