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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD=t．
    （1）求tan∠FOB的值；
    （2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；
    （3）是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）已知点A的坐标，可推出CD=OD=DE=EF=t，可求出tan∠FOB．
    （2）证明△ACF∽△AOB推出得
    2
    		2
    -
    		2
    t
    2
    		2
    =
    t
    OB
    ，然后求出OB关于t的等量关系式，继而求出S△OAB的值．
    （3）依题意要使△BEF∽△OFE，则要
    OE
    EB
    =
    EF
    EF
    或
    OE
    EF
    =
    EF
    EB
    ，即分BE=2t或EB=
    1
    2
    t    两种情况解答．当BE=2t时，BO=4t，根据上述的线段比求出t值；当EB=
    1
    2
    t时也要细分两种情况：当B在E的右侧以及当B在E的左侧时OB的取值，利用线段比求出t值．
    解答：解：（1）∵A（2，2），
    ∴∠AOB=45°，
    ∴CD=OD=DE=EF=t，
    ∴tan∠FOB=
    t
    2t
    =
    1
    2
    ．（3分）

    （2）∵CF∥OB，
    ∴△ACF∽△AOB，
    ∴
    2
    		2
    -
    		2
    t
    2
    		2
    =
    t
    OB
    ．
    ∴OB=
    2t
    2-t
    ，
    ∴S△OAB=
    2t
    2-t
    (0＜t＜2)    ．（4分）

    （3）要使△BEF与△OFE相似，
    ∵∠FEO=∠FEB=90°，
    ∴只要
    OE
    EB
    =
    EF
    EF
    或
    OE
    EF
    =
    EF
    EB
    ．
    即：BE=2t或EB=
    1
    2
    t    ，
    ①当BE=2t时，BO=4t，
    ∴
    2t
    2-t
    =4t    ，
    ∴t1=0（舍去）或t2=
    3
    2
    ，
    ∴B（6，0）．（2分）
    ②当EB=
    1
    2
    t    时，
    （ⅰ）当B在E的左侧时，
    精英家教网
    OB=OE-EB=
    3
    2
    t    ，
    ∴
    2t
    2-t
    =
    3
    2
    t    ，
    ∴t1=0（舍去）或t2=
    2
    3
    ．
    ∴B（1，0）．（2分）
    （ⅱ）当B在E的右侧时，OB=OE+EB=
    5
    2
    t    ，
    ∴
    2t
    2-t
    =
    5
    2
    t    ，
    ∴t1=0（舍去）或t2=
    6
    5
    ，
    ∴B（3，0）．（2分）
    综上，B（1，0）（3，0）（6，0）．
    点评：本题考查的是正方形的性质，坐标与图形的性质以及相似三角形的判定等有关知识．
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    （2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．
    （3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？这时⊙F和直线BO相切的位置关系如何？请给予说明．
    （4）G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连接HG、HC，求HG+HC的最小值，并将此最小值用x表示．

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    43
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    （3）设一动点P从A点出发，以每秒1个单位速度沿射线AB方向运动，过P作PQ⊥AB，交射线AM于Q；
    ①求运动t秒时，Q点的坐标；（用含t的代数式表示）
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    (-1，
    		3
    )，(-1，-
    		3
    )
    (-1，
    		3
    )，(-1，-
    		3
    )
    ．

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