Question

如图，已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，圆心O在△ABC内部，且⊙O经过B、C两点，若BC=8，AO=1，求⊙O的半径．

Answer 1

解：连结BO、CO，延长AO交BC于D．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC
∵O是圆心，
∴OB=OC，
∴直线OA是线段BC的垂直平分线，
∴AD⊥BC，且D是BC的中点，
在Rt△ABC中，AD=BD=BC，
∵BC=8，
∴BD=AD=4，
∵AO=1，
∴OD=BD-AO=3，
∵AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB===5．
分析：连结BO、CO，延长AO交BC于点D，由于△ABC是等腰直角三角形，故∠BAC=90°，AB=AC，再根据OB=OC，可知直线OA是线段BC的垂直平分线，故AD⊥BC，且D是BC的中点，在Rt△ABC中根据AD=BD=BC，可得出BD=AD，再根据AO=1可求出OD的长，再根据勾股定理可得出OB的长．
点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．