Question

3．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE²+PF²=PO²；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．
其中正确的结论有①②③⑤．

Answer 1

分析 ①根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE=∠MAE=45°，然后利用“角边角”证明△APE和△AME全等；
②根据全等三角形对应边相等可得PE=EM=$\frac{1}{2}$PM，同理，FP=FN=$\frac{1}{2}$NP，证出四边形PEOF是矩形，得出PF=OE，证得△APE为等腰直角三角形，得出AE=PE，PE+PF=OA，即可得到PM+PN=AC；
③根据矩形的性质可得PF=OE，再利用勾股定理即可得到PE²+PF²=PO²；
④判断出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似；
⑤证出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，从而得出结论．

解答 解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，
∵PM⊥AC，
∴∠AEP=∠AEM=90°，
在△APE和△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAC}\\{AE=AE}\\{∠AEP=∠AEM}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△AME（ASA），
故①正确；
②∵△APE≌△AME，
∴PE=EM=$\frac{1}{2}$PM，
同理，FP=FN=$\frac{1}{2}$NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF=OE，
∵在△APE中，∠AEP=90°，∠PAE=45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴AE=PE，
∴PE+PF=OA，
又∵PE=EM=$\frac{1}{2}$PM，FP=FN=$\frac{1}{2}$NP，OA=$\frac{1}{2}$AC，
∴PM+PN=AC，
故②正确；
③∵四边形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
在直角△OPF中，OF²+PF²=PO²，
∴PE²+PF²=PO²，
故③正确；
④∵△APE≌△AME，
∴AP=AM
△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，
∴△POF与△BNF不一定相似，
故④错误；
⑤∵△APE≌△AME，
∴AP=AM，
∴△AMP是等腰直角三角形，
同理，△BPN是等腰直角三角形，
当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM=PN，
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，
∴AP=BP，即P是AB的中点，
故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．

点评 此题主要考查了正方形的性质、矩形的判定、勾股定理的综合应用、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟记各性质并准确识图是解决问题的关键．