Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，反比例函数图象过点A（2，1）和另一动点B（x，y）．
（1）求此函数表达式；
（2）如果y＞1，写出x的取值范围；
（3）直线AB与坐标轴交于点P，如果PB=AB，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数表达式；
（2）由反比例函数图象上点的坐标可得出x=$\frac{2}{y}$，结合点B在第一象限以及y＞1，即可求出x的取值范围；
（3）分点B在点A的左侧和右侧考虑，构造图形，利于三角形的中卫线即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）设反比例函数表达式为y=$\frac{k}{x}$（k≠0），
∵此函数过A（2，1），
∴1=$\frac{k}{2}$，解得：k=2，
∴此函数表达式y=$\frac{2}{x}$．

（2）∵点B在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的第一象限的图象上，
∴x=$\frac{2}{y}$，且x＞0，
∵y＞1，
∴0＜x＜2．

（3）当点B在点A左边时，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图1所示．
∵AC∥BD，PB=AB，
∴BD为△PAC的中位线，
∴点B的坐标为（1，2），
∴PC=2CD=2，
∴OP=OC+PC=3，
∴点P（0，3）；
当点B在点A的右边时，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥AE于点F，则BF为△AEP的中位线，如图2所示．
∴点B（4，$\frac{1}{2}$），
∴PE=2BP=4，
∴OP=OE+PE=6，
∴点P（6，0）．
综上所述：点P的坐标为（0，3）或（6，0）．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的中位线，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利于待定系数法求出反比例函数表达式；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征找出x=$\frac{2}{y}$；（3）构造三角形，利于三角形的中位线求出点P的坐标．