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1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=$\frac{3}{2}$x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,P为线段AB上一动点(不与A,B两点重合),过点P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M,N.设OM=a,四边形PMON面积为s.
(1)A,B两点的坐标为(-4,0),(0,6),a的取值范围是0<a<4;
(2)求s与a的函数表达式及s的最大值;
(3)当s=$\frac{35}{6}$时,求点P的坐标.

分析 (1)由直角解析式可求得A、B的坐标,由P在线段AB上运动,可知M在线段OA上运动,则可求得a的取值范围;
(2)用a可表示出PM和PN的长,则可求得s与a的函数表达式,利用二次函数的性质可求得其最大值;
(3)代入(2)中所求函数表达式,可求得对应的a的值,从而可求得P点坐标.

解答 解:
(1)在y=$\frac{3}{2}$x+6中,令y=0可求得x=-4,令x=0可求得y=6,
∴A(-4,0),B(0,6),
∵P为线段AB上一动点(不与A,B两点重合),过点P作PM⊥x轴,
∴点M在线段OA上运动,
∴0<a<4,
故答案为:(-4,0),(0,6);0<a<4;
(2)∵P为线段AB上一动点(不与A,B两点重合),PM⊥x轴,PN⊥y轴,且OM=a,
∴P(-a,-$\frac{3}{2}$a+6),
∴PM=-$\frac{3}{2}$a+6,
∵四边形PMON为矩形,
∴s=OM•PM=a(-$\frac{3}{2}$a+6)=-$\frac{3}{2}$a2+6a=-$\frac{3}{2}$(a-2)2+6,
∵-$\frac{3}{2}$<0,
∴当a=2时,s有最大值,最大值为6;
(3)当s=$\frac{35}{6}$时,则有$\frac{35}{6}$=-$\frac{3}{2}$a2+6a,解得a=$\frac{5}{3}$或a=$\frac{7}{3}$,
∴P点坐标为(-$\frac{5}{3}$,$\frac{17}{2}$)或(-$\frac{7}{3}$,$\frac{19}{2}$).

点评 本题为一次函数的综合应用,涉及函数图象与坐标轴的交点、矩形的面积、二次函数的性质等知识点.在(1)中注意函数图象与坐标轴的交点的求法,在(2)中用a表示出PM的长是解题的关键,在(3)中利用函数值即可求得对应的自变量a的值.本题考查知识点较多,综合性较强,但难度不大,较易得分.

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