Question

将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放．

（1）将图1中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P₁是A₁C与AB的交点，求证：CP₁=AP₁；
（2）将图2中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转30°到△A₂B₂C（如图3），点P₂是A₂C与AB的交点．线段CP₁与P₁P₂之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；
（3）将图3中线段CP₁绕点C顺时针旋转60°到CP₃（如图4），连接P₃P₂，求证：P₃P₂⊥AB．

Answer 1

【答案】分析：（1）由旋转可知，△P₁AC是含有特殊角45°，30°的钝角三角形，作垂线，把问题转化到两个直角三角形求CP₁，AP₁的关系；
（2）此时，可推出∠1=30°，∠2=45°，△P₁P₂C是含有特殊角45°，30°的钝角三角形，类似地作垂线，解直角三角形，确定CP₁，P₁P₂的关系；
（3）分析旋转角及图形特征，易证△CP₁P₂≌△CP₃P₂，根据角的关系证明垂直．
解答：（1）证明：过点P₁作CA的垂线，垂足为D．
易知：△CDP₁为等腰直角三角形，
△P₁DA是直角三角形，且∠A=30°，
所以CP₁=P₁D，P₁D=AP₁，
故CP₁=AP₁．

（2）解：过点P₁作CA₂的垂线，垂足为E，
易知：△P₁EP₂是等腰直角三角形，
（其中∠2=∠A+∠P₂CA=45°），
因为△P₁CE是直角三角形，且∠1=30°，
所以CP₁=2P₁E，P₁E=P₁P₂，
故CP₁=P₁P₂．

（3）证明：将图3中线段CP₁绕点C顺时针旋转60°到CP₃，
易证：△CP₁P₂≌△CP₃P₂，于是∠CP₃P₂=∠CP₁P₂=105°，
∴∠P₁P₂P₃=360°-105°×2-60°=90°，
故P₂P₃⊥AB．
点评：本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，充分运用特殊直角三角形的特点找线段关系．