Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、AD的中点，连接AC、CE和EF，设AC和EF的交点为M．
（1）求证：△AMF∽△CME；
（2）若AC=12 cm，求AM的长；
（3）若△AMF的面积为1 cm²，则梯形ABCD的面积是

 

cm²．

Answer 1

分析：（1）要证△AMF∽△CME，容易发现对顶角是相等的，只要∠1=∠2即可，只要四边形AECD是平行四边形即可，由已知CD平行且等于ME，（1）可完成．
（2）可利用相似三角形的性质对应边成比例来解决．
（3）利用相似三角形的性质可求得△MEC的面积是1×4=4，利用ME=2MF，求得△AME的面积是1×2=2，又AE=BE所以三角形EBC的面积是6，而三角形ADC的面积等于三角形AEC的面积，可求出总面积．

解答：解：（1）证明如下：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、AD的中点，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD∥CE，AD=CE
∴△AFM∽△CEM；

（2）由（1）知AD∥CE，AD=CE
∴

AF

CE

=

AM

MC

又F为AD的中点
AF=

1

2

AD=

1

2

CE
∴

AM

AC-AM

=

1

2

即

AM

12-AM

=

1

2

解得AM=4；

（3）由（1）得△AFM∽△CEM
∴三角形MEC的面积是1×4=4
又

ME

MF

=

EC

AF

=2
∴三角形AME的面积是1×2=2
∴三角形AEC的面积是2+4=6
三角形ADC的面积等于三角形AEC的面积等于6
E为AB的中点
∴三角形EBC的面积是6
∴梯形ABCD的面积是6+6+6=18
故填18．

点评：相似的判定中，两角相等最好用，实际应用时要首先进行思考能不能应用两角相等来证明，再思考其它的方法．计算线段的大小，常用成比例的线段来解决．