Question

如图，AB为⊙O的直径，点D为弦BE上的点，连接OD并延长交⊙O于点F，与过B点的直线相交于点C．已知点E为弧AF的中点，OF=CF，AE∥OC．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若弦BE=6，求CD．

Answer 1

（1）证明：连接BF．
∵AB为⊙O的直径（已知）
∴∠E=90°（直径所对的圆周角是直角）；
∵AE∥OD（已知），
∴∠ODB=90°，
∴ED=BD（垂径定理），
∴弧EF=弧BF，
∵点E为弧AF的中点，
∴==
∴∠COB=60°．
∵OB=OF（⊙O的半径0），
∴△0BF是等边三角形（有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴BF=OF．
∵OF=CF（已知），
∴CF=BF=0F（等量代换），
∴∠CBF=∠OFB=x60°=30°（三角形外角定理）．
∵∠OBC=∠OBF+∠CBF=90°，
∴BC是⊙O的切线；


（2）解：∵OD⊥BE，
∴DB=DE（垂径定理）．
∵BE=6，
∴BD=3．
∵∠COB=60°，
∴OD=，OB=2．
∵CB⊥OB，∠C=30°
∴OC=4，
∴CD=OC-OD=3．
分析：（1）连接BF．欲证BC是⊙O的切线，只需证明AB⊥BC即可；
（2）利用垂径定理求得ED=BD；然后在直角△ODB和直角△OBC中利用特殊角的三角函数的定义求得OD、OC的长度；最后由线段间的和差关系来求CD线段的长度．
点评：本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．