Question

已知抛物线经过A（-2，0）、B（0，）、C（6，0）三点，连结AB、BC，在抛物线内作平行四边形ABCD，连结BD与x轴交于E点。

（1）求直线BD的解析式；   （2）求此抛物线的解析式；

（3）若抛物线上有一动点P在BC之间移动，那么当它运动到什么位置时，该动点到x轴的距离和到直线BD的距离相等？

Answer 1

 解：（1）由平行四边形ABCD的性质可知，点E是AC的中点，其坐标为（2，0），结合点B（0，），可设直线BD的解析式为y=kx+b，代入即可求出解析式为y=-x+.                   （3分）

（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据已知，经过三点A（-2，0）、B（0，）、C（6，0），代入即可求出解析式为

                               （6分）

（3）根据到角两的距离相等的点在角的平分线上，可知要求的动点既在抛物线上，又在∠BEC的平分线上。

    因为OB=，OE=2，可根据三角函数求出∠OEB=60⁰.

    作∠BEC的角平分线EP与抛物线交于点E，并反向延长与y轴交于点M，可知点P处于抛物线上的BC之间，即为所求之点。

    显然可知∠OEM=60⁰，利用三角函数求出OM=

    直线EP经过点E（2，0）和M（0，-），可求出此直线的解析式为y=x-.                               （8分）

    结合抛物线的解析式可求得两个交点，即（4，）和（-6，-8），由于点P在BC之间，故点P的坐标为（4，）.    （10分）