Question

在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）

Answer 1

分析：（1）本题主要利用重合的性质来证明．
（2）首先要连接MB、MD，然后证明△FBM≌△MDH，从而求出两角相等，且有一角为90°．
（3）根据（2）的证明过程，中△FBM≌△MDH仍然成立即可证明．

解答：（1）证明：∵四边形BCGF为正方形
∴BF=BM=MN，∠FBM=90°
∵四边形CDHN为正方形
∴DM=DH=MN，∠HDM=90°
∵BF=BM=MN，DM=DH=MN
∴BF=BM=DM=DH
∵BF=DH，∠FBM=∠HDM，BM=DM
∴△FBM≌△HDM
∴FM=MH，
∵∠FMB=∠DMH=45°，
∴∠FMH=90度，
∴FM⊥HM．

（2）证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC，且MD=

1

2

AC=BC=BF；
MB∥CD，且MB=

1

2

CE=CD=DH（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM=∠CDM，
又∵∠FBP=∠HDC，
∴∠FBM=∠MDH，
∴△FBM≌△MDH，
∴FM=MH，且∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠HMD．
∴∠FMB+∠HMD=180°-∠FBM，
∵BM∥CE，
∴∠AMB=∠E，
同理：∠DME=∠A．
∴∠AMB+∠DME=∠A+∠AMB=∠CBM．
由已知可得：BM=

1

2

CE=AB=BF，
∴∠A=∠BMA，∠BMF=∠BFM，
∴∠FMH=180°-（∠FMB+∠HMD）-（∠AMB+∠DME），
=180°-（180°-∠FBM）-∠CBM，
=∠FBM-∠CBM，
=∠FBC=90°．
∴△FMH是等腰直角三角形．

（3）解：△FMH还是等腰直角三角形．

点评：本题综合考查了等腰三角形的判定，偏难，学生要综合运用学过的几何知识来证明．