Question

如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OABC，点C的坐标为（8，0），点B的坐标为（6，4）．
（1）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（2）点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，同时点Q从A点出发以相同的速度沿线段AB向B点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，四边形BCPQ为平行四边形；
（3）若点M为直线AC上方的抛物线上一动点，当点M运动到什么位置时，△AMC的面积最大？求出此时M点的坐标和△AMC的最大面积．

Answer 1

考点：二次函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,二次函数的最值,待定系数法求二次函数解析式,平行四边形的性质

专题：压轴题

分析：（1）易知点A的坐标为（0，4），用待定系数法就可求出过A，B，C三点的抛物线的表达式．
（2）若四边形BCPQ为平行四边形，则有BQ=CP，从而建立关于t的方程，就可求出t的值．
（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，设点M的横坐标为m，由S_△AMC=S_△AMN+S_△CMN=

1

2

MN•OC可以得到S_△AMC=-（m-4）²+16．然后利用二次函数的最值性就可解决问题．

解答：解：（1）如图1，
∵梯形OABC是直角梯形，点B的坐标为（6，4），
∴点A的坐标为（0，4）．
设过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+4，
则有

36a+6b+4=4 64a+8b+4=0

，
解得

a=- 1 4 b= 3 2

．
∴过A、B、C三点的抛物线的表达式为y=-

1

4

x2+

3

2

x+4．

（2）如图2，
由题可得：BQ=6-t，CP=t．
当BQ∥CP且BQ=CP时，四边形BCPQ为平行四边形．
∴6-t=t．
解得：t=3．

（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，如图3，
设直线AC的解析式为y=kx+4，
则有8k+4=0．
解得：k=-

1

2

．
∴直线AC的解析式为y=-

1

2

x+4．
设点M的横坐标为m，
则有y_M=-

1

4

m²+

3

2

m+4，y_N=-

1

2

m+4．
∴MN=y_M-y_N
=（-

1

4

m²+

3

2

m+4）-（-

1

2

m+4）
=-

1

4

m²+2m．
∴S_△AMC=S_△AMN+S_△CMN
=

1

2

MN•OC
=

1

2

×（-

1

4

m²+2m）×8
=-m²+8m
=-（m-4）²+16．（0＜m＜8）
∵-1＜0，
∴当m=4时，S_△AMC取到最大值，最大值为16，此时点M的坐标为（4，6）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及一次函数的解析式、二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，有一定的综合性．