Question

（2009•衢江区一模）如图平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）直线x=m（0＜m＜4）在线段OB上移动，交x轴于点D，交抛物线于点E，交BC于点F．求当m为何值时，EF=DF？
（3）连接CE和BE后，对于问题“是否存在这样的点E，使△BCE的面积最大”，小红同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BCE的面积最大．”她的观点是否正确？提出你的见解，若△BCE的面积存在最大值，请求出点E的坐标和△BCE的最大面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据抛物线的解析式求出A、B、C三点的坐标，那么可用两种方法进行求解．
①可分别求出AC、BC、AB的长，然后用勾股定理求证．
②可分别在直角三角形AOC和BOC中，用三角函数得出相关的锐角相等，然后通过证小直角三角形与△BAC相似来得出结论．
（2）本题由两种求法：
①可根据△BDF和△BOC相似，用m表示出DF的长，即可得出DE的长，也就得出了E点的坐标，然后将E点坐标代入抛物线的解析式中即可得出m的值．
②可先求出直线BC的解析式．由于DE=2DF，因此当x=m时，抛物线的值是直线BC的值的2倍，由此可得出关于m的方程，即可求出m的值．
（3）本题要先求出△BEC的面积与E点坐标的函数关系式，根据函数的性质来求解．可设出E点的坐标（设横坐标，用抛物线的解析式表示纵坐标）．然后根据△BCE的面积=梯形CODE的面积+△BDE的面积-△BOC的面积；来得出关于△BCE的面积与E点横坐标的函数关系式，然后根据函数的性质求出S的最大值和对应的E点的坐标．
解答：（1）证明：对于y=-x²+x+2
当y=0时，-x²+x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4；
当x=0时，y=2
∴A、B、C三点的坐标分别为
A（-1，0），B（4，0），C（0，2）
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∴AB=OA+OB=5，
∴AB²=25
在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=1²+2²=5
在Rt△COB中，BC²=OC²+OB²=2²+4²=20
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形．

（2）解：∵直线DE的解析式为直线x=m，
∴OD=m，DE⊥OB．
∵OC⊥AB，
∴OC∥DE，
∴△BDF∽△BOC，
∴=
∵OC=2，OB=4，BD=OB-OD=4-m，
∴DF=．
当EF=DF时，DE=2DF=4-m，
∴E点的坐标为（m，4-m）
∵E点在抛物线y=-x²+x+2上，
∴4-m=-m²+m+2
解得m₁=1，m₂=4．
∵0＜m＜4，
∴m=4舍去，
∴当m=1时，EF=DF；

（3）解：小红同学的观点是错误的．
∵OD=m，DE⊥OB，E点在抛物线y=-x²+x+2上
∴E点的坐标可表示为（m，-m²+m+2）
∴DE=-m²+m+2．
∵DF=2-m，
∴EF=DE-DF=-m²+2m
∵S_△BCE=S_△CEF+S_△BEF=EF•OD+EF•BD=EF•（OD+BD）
=EF•OB=EF•4=2EF
∴S_△BCE=-m²+4m=-（m²-4m+4-4）=-（m-2）²+4
∴当m=2时，S_△BCE有最大值，△BCE的最大面积为4；
∵当m=2时，-m²+m+2=3，
∴E点的坐标为（2，3）
而抛物线y=-x²+x+2的顶点坐标为（，），
∴小红同学的观点是错误的．
点评：本题主要考查二次函数的应用、直角三角形的判定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．