Question

如图：已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，圆O的割线DEF垂直于AB于点G，交BC于点H，DC=DH．
（1）求证：DC是圆O的切线；
（2）请你再添加一个条件，可使结论BH²=BG•BO成立，说明理由；
（3）在满足以上所有的条件下，AB=10，EF=8．求sin∠A的值．

Answer 1

分析：（1）要求证：DC是圆O的切线，只要证明OC⊥PC即可．
（2）要证明BH²=BG•BO成立，只要求证△BHG△BOH，只要添加条件：H为BC的中点就可以．
（3）AB与EF是两条相交的弦，根据相交弦定理得到AG•BG=EG²即（AB-BG）BE=16即BG²-10BG+16=0，就可以求出BG的长．进而求出BC，就可以求出sinA的值．

解答：解：（1）连接OD、OC相交于M，
∵∠ACB=90°，CO=AO，
∴∠ACO=∠CAO，∠CAO+∠B=90°，∠B+∠BHG=90°．
∴∠CAO=∠BHG．
∵DC=DH，
∴∠DCH=∠DHC．
∴∠DCH=∠ACO．
∴∠DCH+∠HCO=∠ACO+∠OCH=90°．
∴OC⊥PC．
即DC为切线．

（2）加条件：H为BC的中点，
∴OH⊥HB．
∴△BHG∽△BOH．
∴

BH

BO

=

BG

BH

．
∴BH²=BD•BG．

（3）∵AB=10，EF=8，
∴EG=4．
∴AG•BG=EG²=16．
∴（AB-BG）BG=16．
即BG²-10BG+16=0．
∴BG=2或8（舍）．
∵BH2=BG•BO=2×5=10，
∴BH=

10

．
∴BC=2

10

．
∴sinA=

BC

AB

=

2 10

10

=

10

5

．

点评：证明一条直线是圆的切线，只要证明直线经过半径的外端点，且垂直于这条半径就可以．证明线段的积相等的问题可以转化为三角形相似的问题．