Question

20．已知关于x的一元二次方程x²-6x+k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁，x₂为该方程的两个实数根且满足x₁²x₂²-x₁-x₂=115，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=36-4k＞0，解不等式求出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x₁+x₂=6，x₁•x₂=k，代入x₁²x₂²-x₁-x₂=115得到关于k的方程，结合k的取值范围解方程即可．

解答 解：（1）由题意可得△=36-4k＞0，
解得k＜9；

（2）∵x₁，x₂为该方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=6，x₁•x₂=k，
∵x₁²x₂²-x₁-x₂=115，
∴k²-6=115，
解得k=±11．
∵k＜9，
∴k=-11．

点评 此题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根；（4）x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$；（5）x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．