Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，且3BC=2AD．点E、F是AD的三等分点，则∠BEC+∠BFC+∠BAC=

180°

．

Answer 1

分析：根据等腰三角形三线合一的特点可知：AD垂直平分BC，因此不难得出∠BAC=2∠BAD、∠BFC=2∠BFD、∠BEC=2∠BED，因此本题证∠BAD+∠BFD+∠BED=90°即可．根据3BC=2AD，且AD=3DE，可知BD=ED；因此△BDE是等腰三角形，可得出∠BED=45°，且BE²=2DE²=EF•AE，由此可得出△BEF∽△AEB．那么∠BFD=∠ABE，由此即可得出∠ABE+∠EBD+∠BAD=90°，进而可得出本题所求的结论．

解答：解：∵3BC=2AD，且E，F为AD三等分点，D为BC中点．
∴

1

3

AD=

1

2

BC，即BD=DE；
∴∠BED=45°；
∴BE²=2DE²=EF•AE；
∵∠AEB=∠BEF，
∴△BEF∽△AEB，
∴∠BFD=∠ABE；
即∠ABE+∠BAD=45°；
∴∠ABE+∠EBD+∠BAD=90°，
∴∠BEC+∠BFC+∠BAC=180°．
故答案为：180°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，主要运用了三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，得到BD=DE是解决本题的关键．