Question

【题目】已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣2，0）

（1）直接写出：a＝　 　

（2）如图1，点P在第一象限内抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线交CB的延长线于点D，交AC的延长线于点Q，当△QAP与△QCD相似时，求P点的坐标；

（3）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点M，N为第二象限内抛物线上的一点，直线NA，NB分别交y轴于D，E两点，分别交抛物线的对称轴于F，G两点．

①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值；

②若，求N点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）点P的坐标为（6，4）或（，）；

（3）①tan∠FAM﹣tan∠GAM＝；②点N的坐标为（﹣4，4）．

【解析】

（1）将点A代入抛物线即可．

（2）相似分两种情况，一种是AP∥CD，根据两直线平行k相等，再代入点A就可以求出此时直线AP的解析式，和抛物线联立就可以求出点P的坐标；另一种根据相似三角形对应边成比例，列方程求解即可．

（3）①设点N的坐标，表示线段长度，列比值算出数值即可．②转换题干中的比值，把斜线的比值转换为水平线的比值，表示线段长度，列式求解即可．

解：（1）将A（﹣2，0）代入抛物线中，得

0＝4a+4a﹣2，解得．

故答案为．

（2）抛物线的解析式为，

令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，

∴B（4，0），

令x＝0，y＝﹣2，

∴C（0，﹣2），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，代入点A、C，得：

解得

∴y＝﹣x﹣2，

设直线BC的解析式为y＝k1 x+b1，代入点点B、C，得：

解得

∴y＝x﹣2，

设点P的横坐标为m，则纵坐标为，

则点D（m， m﹣2），Q（m，﹣m﹣2），

PQ＝，

DQ＝，

AQ＝，

CQ＝，

①当AP∥CD时，△APQ∽△CDQ，

设直线AP的解析式为y＝x+b3，

代入点A，0＝×（﹣2）+b3，解得b3＝1，

∴y＝x+1，

令x+1＝x2﹣﹣2，

解得x1＝﹣2，x2＝6，

当x＝6时，y＝4，

∴P（6，4）．

②当∠APQ＝∠QCD时，△APQ∽△DCQ，

∴，

∴＝

解得m1＝﹣2（舍），m2＝，

当x＝时，y＝，

∴P（，）．

综上所述，点P的坐标为（6，4）或（，）．

（3）①过点N作NK垂直x轴于点K，

设点N的坐标为（n，n2﹣n﹣2），

则NK＝n2﹣n﹣2，AK＝﹣2﹣n，BK＝4﹣n，

tan∠FAM＝tan∠NAK=＝，

tan∠GAM＝tan∠GBK=＝，

∴tan∠FAM﹣tan∠GAM＝-=．

②∵，△NED∽△NGF，

∴，

过点N向抛物线的对称轴作垂线，分别交y轴和对称轴于点J、H，

∴△NJE∽△NHG，

∴，

NJ＝﹣n，NH＝1﹣n，

∴4（1﹣n）＝﹣5n，

解得n＝﹣4，

当x＝﹣4时，y＝4，

∴点N的坐标为（﹣4，4）．