Question

【题目】如图1，已知正方形ABCD的边长为6，E是CD边上一点（不与点C 重合），以CE为边在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，连接BF、BD、FD．

（1）当点E与点D重合时，△BDF的面积为 ；当点E为CD的中点时，△BDF的面积为 ．

（2）当E是CD边上任意一点（不与点C重合）时，猜想S△BDF与S正方形ABCD之间的关系，并证明你的猜想；

（3）如图2，设BF与CD相交于点H，若△DFH的面积为，求正方形CEFG的边长．

Answer 1

【答案】（1）18，18；（2）S△BDF=S正方形ABCD，证明见解析；（3）4

【解析】

（1）根据三角形的面积公式求解；

（2）连接CF，通过证明BD∥CF，可得S△BDF=S△BDC=S正方形ABCD；

（3）根据S△BDF= S△BDC可得S△BCH= S△DFH=，由三角形面积公式可求CH，DH的长，再由三角形面积公式求出EF的长即可．

（1）∵当点E与点D重合时，
∴CE=CD=6，
∵四边形ABCD，四边形CEFG是正方形，
∴DF=CE=AD=AB=6，
∴S△BDF=×DF×AB=18，

当点E为CD的中点时，如图，连接CF，

∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形；
∴∠CBD=∠GCF=45°，
∴BD∥CF，
∴S△BDF=S△BDC=S正方形ABCD=×6×6=18，

故答案为：18，18．

（2）S△BDF=S正方形ABCD，

证明：连接CF．

∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形；

∴∠CBD=∠GCF=45°，

∴BD∥CF，

∴S△BDF= S△BDC=S正方形ABCD；

（3）由（2）知S△BDF= S△BDC，

∴S△BCH= S△DFH=，

∴，

∴，，

∴，

∴EF=4，

∴正方形CEFG的边长为4．