Question

15．如图，△ABC中，∠ABC=45°，高AD和BE交于F点，点G为BF的中点，AF=4，DF=6，则AG=$\frac{10\sqrt{170}}{17}$．

Answer 1

分析 根据已知条件得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD=BD，根据全等三角形的性质得到CD=DF=6，BD=AD=AF+DF=10，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，根据相似三角形的性质得到BE=$\frac{40\sqrt{34}}{17}$，CE=$\frac{24\sqrt{34}}{17}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF=∠ADB，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠DAC=∠DBF，
在△BDF与△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠DBF}\\{AD=BD}\\{∠ADC=∠BDF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BDE，
∴CD=DF=6，BD=AD=AF+DF=10，
∴BC=16，
∵AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
∵∠CBE=∠DAC，∠BEC=∠ADC=90°，
∴△ADC∽△BEC，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{CE}$，即$\frac{10}{BE}=\frac{2\sqrt{34}}{16}$=$\frac{6}{CE}$，
∴BE=$\frac{40\sqrt{34}}{17}$，CE=$\frac{24\sqrt{34}}{17}$，
∵点G为BF的中点，
∴EG=$\frac{20\sqrt{34}}{17}$，
∵AE=AC-CE=$\frac{10\sqrt{34}}{17}$，
∴AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{2}}$=$\frac{10\sqrt{170}}{17}$．
故答案为：$\frac{10\sqrt{170}}{17}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．