Question

1．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）将抛物线沿y轴平移t（t＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点时，则t的取值范围是0＜t＜3或t=4．
（2）抛物线上存在点P，使∠BCP=∠BAC-∠ACO，则点P的坐标为（$\frac{13}{7}$，$\frac{160}{49}$）或（-5，-32）．

Answer 1

分析 （1）把函数化为顶点式y=a（x-h）²+k的形式，向下平移使抛物线与x轴只有一个交点，即把解析式中的k变成0即可．
（2）取AC的中点M，过M作MN⊥AC交OC于N，连接AN则AN=CN，∠ACO=∠CAN，通过△MCN∽△OCA，求得CN的值，进而求得NO的值，从而得出tan∠NAO=$\frac{NO}{AO}$=$\frac{4}{3}$；当P在BC的上方时，设为P₁，过B作BD⊥BC交直线CP₁于D，过D作DE⊥x轴于E，通过证明△BDE∽△CBO，进而求得tan∠BCP₁=tan∠NAO=$\frac{4}{3}$，从而确定D点的坐标，把D点代入直线CP₁的解析式为y=k₁x+3，求得P₁点的坐标；当点P在BC下方时，设为P₂（m，n），则∠BCP₂=∠BCP₁，延长DB交直线CP₂于E，则点B是DE的中点，求得E点坐标，代入直线CP₂的解析式为y=k₂x+3，即可求得P₂的坐标．

解答 解：（1）由题意，抛物线只能沿y轴向下平移，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴设平移后的抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4-t（t＞0），
当原点O落在平移后的抛物线上时，把（0，0）代入得：
0=-（0-1）²+4-t，
解得t=3；
当平移后的抛物线的顶点落在x轴上时，x=1，y=0
即0=-（1-1）²+4-t，
解得t=4，
∵平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点
∴0＜t＜3或t=4，
故答案为：0＜t＜3或t=4；

（2）当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得：x=-1或x=3，
即A（-1，0）、B（3，0），
取AC的中点M，过M作MN⊥AC交OC于N，连接AN，

则AN=CN，
∴∠ACO=∠CAN
∵∠BCP=∠BAC-∠ACO，
∴∠BCP=∠BAC-∠CAN=∠NAO
∵∠ACO=∠NCM，∠AOC=∠CMN=90°，
∴△MCN∽△OCA，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{CO}{CA}$，
∴CN=$\frac{CM•CA}{CO}$=$\frac{C{A}^{2}}{2CO}$=$\frac{{1}^{2}+{3}^{2}}{2×3}$=$\frac{5}{3}$，
∴NO=CO-CN=3-$\frac{5}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠NAO=$\frac{NO}{AO}$=$\frac{4}{3}$；
当点P在BC上方时，设为P₁，过B作BD⊥BC交直线CP₁于D，过D作DE⊥x轴于E
∵∠OCB=∠DBE，∠BOC=∠BED=90°，
∴△BDE∽△CBO，
∴$\frac{BE}{CO}$=$\frac{DE}{BO}$=$\frac{BD}{BC}$=tan∠BCP₁=tan∠NAO=$\frac{4}{3}$，
∴BE=$\frac{4}{3}$CO=4，DE=$\frac{4}{3}$BO=4，OE=3+4=7
∴D（7，4）
设直线CP₁的解析式为y=k₁x+3，把（7，4）代入
4=7k₁+3，
∴k₁=$\frac{1}{7}$，
∴y=$\frac{1}{7}$x+3
令-x²+2x+3=$\frac{1}{7}$x+3，
解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{13}{7}$
∴P₁（$\frac{13}{7}$，$\frac{160}{49}$），
当点P在BC下方时，设为P₂（m，n），
则∠BCP₂=∠BCP₁
延长DB交直线CP₂于E，则点B是DE的中点
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+7}{2}=3}\\{\frac{n+4}{2}=0}\end{array}\right.$    
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
∴E（-1，-4）
设直线CP₂的解析式为y=k₂x+3，把（-1，-4）代入-4=-k₂+3，
∴k₂=7，
∴y=7x+3
令-x²+2x+3=7x+3，
解得x₁=0（舍去），x₂=-5
∴P₂（-5，-32）
综上所述，抛物线上存在点P，使∠BCP=∠BAC-∠ACO，
P点坐标为（$\frac{13}{7}$，$\frac{160}{49}$）或（-5，-32），
故答案为：（$\frac{13}{7}$，$\frac{160}{49}$）或（-5，-32）．

点评 此题是二次函数的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法．