Question

7．如图，四边形ABCD中，AB=DC，∠A=∠D，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点，求证：四边形MENF是菱形．

Answer 1

分析 先根据四边形ABCD是等腰梯形，则AB=CD，∠A=∠D，再利用SAS证明△ABM≌△DCM，利用全等的性质得出BM=CM，再根据三角形的中位线定理得出EN=MF，EM=FN，从而根据四条边相等的四边形是菱形得出结论．

解答 证明：∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
∵AB=CD，∠A=∠D，
在△ABM与△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠A=∠D}\\{AM=DM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM=CM，
∵M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点，
∴EN=$\frac{1}{2}$CM=MF，EM=$\frac{1}{2}$BM=FN，
∴ME=EN=NF=FM，
∴四边形MENF是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定：四条边相等的四边形是菱形，全等三角形的判定以及等腰梯形的性质，综合性较强，难度中等．