Question

（1）计算．
①（a-1）（a+1）；
②（a-1）（a²+a+1）；
③（a-1）（a³+a²+a+1）；
④（a-1）（a⁴+a³+a²+a+1）．
（2）根据（1）中的计算，请你发现的规律直接写出下题的结果．
①（a-1）（a⁹+a⁸+a⁷+a⁶+a⁵+a⁴+a³+a²+a+1）=

a¹⁰-1

；
②若（a-1）•M=a¹⁵-1，则M=

a¹⁴+a¹³+a¹²+a¹¹+…+a³+a²+a+1

；
③（a-b）（a⁵+a⁴b+a³b²+a²b³+ab⁴+b⁵）=

a⁶-b⁶

；
④（2x-1）（16x⁴+8x³+4x²+2x+1）=

32x⁵-1

．

Answer 1

分析：（1）利用平方差公式化简，即可得到结果；②利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果；③和④都利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果；
（2）由（1）中的计算结果，归纳总结得到规律，利用规律即可得出各式的结果．

解答：解：（1）①原式=a²-1；②原式=a³-1； ③原式=a⁴-1；④原式=a⁵-1；

（2）根据（1）得到的规律得：
①（a-1）（a⁹+a⁸+a⁷+a⁶+a⁵+a⁴+a³+a²+a+1）=a¹⁰-1；
②M=a¹⁴+a¹³+a¹²+a¹¹+…+a³+a²+a+1；
③（a-b）（a⁵+a⁴b+a³b²+a²b³+ab⁴+b⁵）=a⁶-b⁶；
④（2x-1）（16x⁴+8x³+4x²+2x+1）=（2x）⁵-1=32x⁵-1．
故答案为：（2）①a¹⁰-1；②a¹⁴+a¹³+a¹²+a¹¹+…+a³+a²+a+1；③a⁶-b⁶；④32x⁵-1．

点评：此题考查了平方差公式，以及多项式乘以多项式法则，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．