Question

13．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线BC上任意一点，DF⊥DE，交直线AC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB于点H．
（1）如图，若E在线段BC上，①证明DE=DF；②证明CG=GH；
（2）若E在射线CB上，CG=GH还成立吗？直接写出结论，不需说明理由；
（3）若E在直线BC上，BE=3，CH=5．则线段BC=1或7．

Answer 1

分析 （1）①通过全等三角形（△AED≌△CFD）的对应边相等证得AE=CF；
②根据Rt△ECF和Rt△EDF斜边上中线的性质来证明CG=GD；
（2）①②都成立．思路同（1）；
（3）求出EF的长是5，在Rt△ECF中，CF=3，根据勾股定理求出EC，即可求出AC

解答 解：（1）如图1中，

①连接CD，
∵AC=BC，AD=BD，∠ACB=90°
∴CD⊥AB，CD=AD=BD，
∴∠A=∠B=∠ACD=45°，
∵∠EDF=∠CDB=90°，
∴∠CDF=∠BDE，
在△CDF和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠B}\\{CD=BD}\\{∠CDF=∠BDE}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BDE，
∴DF=DE．
②连接DG．
在Rt△EFC中，∵EG=GF，
∴CG=$\frac{1}{2}$EF，
在Rt△DEF中，∵EG=GF，
∴DG=$\frac{1}{2}$EF，
∴CG=DG，
∴∠GCD=∠GDC，
∵∠GCD+∠CHD=90°，∠GDC+∠GDH=90°，
∴∠GDH=∠GHD，
∴GD=GH=CG．
∴CG=GH．

（2）如图2中，结论：CG=CH仍然成立．

在△CDF和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠B}\\{CD=BD}\\{∠CDF=∠BDE}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BDE，
∴DF=DE．
在Rt△EFC中，∵EG=GF，
∴CG=$\frac{1}{2}$EF，
在Rt△DEF中，∵EG=GF，
∴DG=$\frac{1}{2}$EF，
∴CG=DG，
∴∠GCD=∠GDC，
∵∠GCD+∠CHD=90°，∠GDC+∠GDH=90°，
∴∠GDH=∠GHD，
∴GD=GH=CG．
∴CG=GH．

（3）解：AC=7或1，理由是：
如图1中，由（1）可知，EF=GH=5，CF=BE=3，
∴EC=$\sqrt{E{F}^{2}-F{C}^{2}}$=4，
∴AC=BC=CE+BE=4+3=7．
当E在CB的延长线上时，可得AC=BC=1，
综合上述：AC=7或1．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理等知识点的综合运用，题目具有一定的代表性，证明过程类似．