Question

已知：二次函数y=x²-mx-4．
（1）求证：该函数的图象一定与x轴有两个不同的交点；
（2）设该函数的图象与x轴的交点坐标为（x₁，0）、（x₂，0），且，求m的值，并求出该函数图象的顶点坐标．

Answer 1

【答案】分析：判断二次函数y=x²-mx-4的图象与x轴的交点情况，相当于求方程x²-mx-4=0的判别式符号，本题就是要证明△＞0；
二次函数图象与x轴的两交点的横坐标x₁，x₂也就是方程x²-mx-4=0的两根，可运用根与系数关系解题．
解答：解：（1）因为△=m²+16＞0，所以一元二次方程x²-mx-4=0有两个不相等的实数根，
因而函数y=x²-mx-4的图象一定与x轴有两个不同的交点；

（2）因为该函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（x₁，0）、（x₂，O），
所以x₁，x₂是方程x²-mx-4=0的两个实数根，
所以x₁+x₂=m，x₁•x₂=-4．
由得，
因此m=4．
所以二次函数的解析式为y=x²-4x-4=（x-2）²-8，因此顶点坐标为（2，-8）．
点评：主要考查了二次函数的图象性质与一元二次方程根与系数之间的关系，以及求图象的顶点坐标．这些性质和根与系数关系的变形要求掌握．