Question

3．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连结AF，CE．求证：四边形AECF是平行四边形．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AB∥CD，又由AE⊥BD，CF⊥BD，即可得AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°，然后利用AAS证得△AEB≌△CFD，即可得AE=CF，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF是平行四边形．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°，
在△AEB和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}&{\;}\\{∠AEB=∠CFD}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∵∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，证得△AEB≌△CFD，得到AE∥CF且AE=CF是解此题的关键．