Question

17．（1）问题发现：
如图1，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点．
填空：①四边形AFMG的形状是平行四边形；
         ②△DFM和△MGE之间的关系是△DFM≌△MGE．
（2）拓展探究：
如图2，在△ABC中，分别以AB、AC为底边，向△ABC的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为D、E，且∠BAD+∠CAE=90°，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，试判断△DFM和⊥MGE之间的关系，并加以说明．
（3）问题解决：
在（2）的条件下，若AD=5，AB=6，△DFM的面积为32，直接写出△MGE的面积．

Answer 1

分析 （1）①依据三角形的中位线的性质证明FM∥AC，MG∥AB，从而可知四边形AFMG的形状；
②先依据直角三角形斜边上中线的性质和平行四边形的性质证明DF=MG、FM=EG，然后依据等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质证明∠DFM=∠EGM，依据SAS可证明两个三角形全等；
（2）先证明∠DFM=∠MGE，然后再证明∠BAD=∠AEG，依据锐角三角函数的定义可得到比例式，最后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可证明△DFM∽△MGE；
（3）先依据勾股定理求得DF=4．然后可求得△DFM与△MGE的相似比，然后依据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．

解答 解：（1）①∵BF=AF，BM=MC，
∴FM∥AC，同理MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
②∵∠BDA=90°，DF是AB边上的中线，
∴DF=AF．
∵四边形AFMG是平行四边形，
∴MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∴DF=MG，∠BFM=∠MGC．
∵∠AEC=90°，EG是AC边上的中线，
∴GE=AG．
∵四边形AFMG是平行四边形，
∴AG=FM．
∴GE=FM．
∵DA=DB，F为AB的中点，
∴∠DFB=90°．
同理：∠EGC=90°．
∴∠DFB+∠BFM=∠EGC+∠MGC，即∠DFM=∠EGM．
在△DFM和△MGE中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}&{\;}\\{∠DFM=∠EGM}&{\;}\\{FM=EG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE（SAS）；
故答案为：△DFM≌△MGE．

（2）△DFM∽△MGE，理由如下：
∵△ADB和△ACE都是等腰三角形，且F、G为AB、AC的中点，
∴∠DFB=∠EGC=90°．
∵点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，
∴FM∥AC，MG∥AB，FM=$\frac{1}{2}$AC=AG    MG=$\frac{1}{2}$AB=AF．
∴∠BFM=∠BAC=∠MGC．
∴∠BFM+90°=∠MGC+90°，
即∠DFM=∠MGE．
∵∠BAD+∠CAE=90°，∠CAE+∠AEG=90°，
∴∠BAD=∠AEG．
∴tan∠BAD=tan∠AEG．
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{AG}{GE}$，即$\frac{DF}{MG}=\frac{FM}{GE}$，
又∵∠DFM=∠MGE，
∴△DFM∽△MGE．

（3）∵AD=5，AB=6，
∴AF=3，MG=3，MG=AF=3．
∴在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∵由①知△DFM∽△MGE，且△DFM的面积为32，
∴$\frac{{S}_{△MGE}}{{S}_{△DFM}}$=（$\frac{MG}{DF}$）²=（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$．
∴S_△MGE=32×$\frac{9}{16}$=18．

点评 本题是四边形综合题目，主要考查的是三角形、四边形的综合应用，解答本题主要应用了三角形的中位线定理、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，找出△DFM与△MGE全等或相似的条件是解题的关键．