Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，C是劣弧 的中点，连BO并延长交⊙O于点D，连接CA，CB，AB与CD交于点F，已知CF=1，FD=2．
（1）求CB的长；
（2）延长DB到E，使BE=OB，连接CE，求证：CE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C是劣弧 的中点，

∴∠1=∠2，

∵∠1=∠D，

∴∠2=∠D，

∵∠BCF=∠DCB，

∴△BCF∽△DCB，

∴ ，

∴BC2=CFCD=1×3=3，

∴BC= ；

（2）解：∵BD是⊙O的直径，

∴∠BCD=90°，

∴BD2=BC2+CD2=12，

∴BD=2 ，

∴OB=BE=BC，

连接OC，

∴∠OCE=90°，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线．

【解析】（1）由C是劣弧 的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠D，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由BD是⊙O的直径，得到∠BCD=90°，根据勾股定理得到BD=2 ，证得OB=BE=BC，连接OC，推出OC⊥CE，即可得到结论．
【考点精析】掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．