Question

已知抛物线y=x²+2mx+m-7与x轴的两个交点在（1，0）两旁，则关于x的方程x²+（m+1）x+m²+5=0的根的情况是

1. A.
   有两个正数根
2. B.
   有两个负数根
3. C.
   有一个正根和一个负根
4. D.
   无实数根

Answer 1

D
分析：因为抛物线y=x²+2mx+m-7与x轴的两个交点在（1，0）两旁，由此求出m取值范围，进而由方程x²+（m+1）x+m²+5=0的“△”确定根的情况．
解答：∵抛物线y=x²+2mx+m-7与x轴的两个交点在（1，0）两旁，
∴关于x的方程x²+2mx+m-7=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac＞0，
即：（2m）²-4（m-7）＞0，
∴m为任意实数①
设抛物线y=x²+2mx+m-7与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β
∴α、β是关于x的方程x²+2mx+m-7=0的两个不相等的实数根，
由根与系数关系得：α+β=-2m，αβ=m-7，
∵抛物线y=x²+2mx+m-7与x轴的两个交点分别位于点（1，0）的两旁
∴α＜1，β＞1
∴（α-1）（β-1）＜0
∴αβ-（α+β）+1＜0
∴（m-7）+2m+1＜0
解得：m＜2②
由①、②得a的取值范围是m＜2；
∵方程x²+（m+1）x+m²+5=0的根的判别式为：
（m+1）²-4×（m²+5），
=2m-4，
∵m＜2，
∴2m-4＜0，
∴方程没有实数根，
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线y=ax²+bx+c与轴有两个交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根即△＞0；当抛物线y=ax²+bx+c与轴有一个交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根即△=0；当抛物线y=ax²+bx+c与轴无交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0无实数根即△＜0．