Question

如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF．
（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明．
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由．
（3）若∠ABE=40°，求∠CFE的度数．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件可以判定△ABC、△DCE均为等边三角形，由等边三角形的三个内角相等、三条边相等，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得结论；
（2）四边形ABDF是平行四边形；利用（1）中的三个等边三角形△ABC、△AEF、△DCE可以推知同位角∠CDE=∠ABC，内错角∠CDE=∠EFA．所以利用平行的线的判定定理可以证得四边形ABDF的对边相互平行；
（3）利用全等三角形的性质以及等边三角形的性质得出即可．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB，∠ACB=60°；
又∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE=CD=CE，∠DCE=∠EDC=60°，
∵EF=AE，
∴EF+DE=AE+CE，
∴FD=AC=BC，
在△BCE和△FDC中，

BC=FD ∠BCE=∠CDF CE=CD

，
∴△BCE≌△FDC（SAS）；

（2）解：四边形ABDF是平行四边形；
理由如下：
∵由（1）知△ABC、△AEF、△DCE均为等边三角形，
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°，
∴AB∥FD，BD∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形；

（3）解：∵△BCE≌△FDC，
∴∠EBC=∠CFD，
∵∠ABC=60°，∠ABE=40°，
∴∠CBE=∠CFE=20°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及平行四边形的判定．平行四边形的判定定理：①对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边相互平行的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形．