Question

6．如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）直接写出一次函数y=-x+4的值大于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的值自变量x的范围；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由点A在一次函数图象上即可求出a值，从而得出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的关系式，再联立直线AB与反比例函数关系式成方程组，解方程组即可求出点B的坐标；
（2）观察函数图象，结合反比例函数的对称性，根据函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．根据点B的坐标即可得出点B′的坐标，由点A、B′的坐标利用待定系数法即可求出直线AB′的函数关系式，令其y=0求出x值即可得出点P的坐标，再利用分割图形求面积法即可求出S_△PAB的值．

解答 解：（1）∵点A（1，a）在一次函数y=-x+4的图象上，
∴a=-1+4=3，
∴点A的坐标为（1，3）．
∵点A（1，3）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0）的图象上，
∴3=k，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{3}{x}$．
联立直线AB与反比例函数的表达式，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（3，1）．
（2）观察函数图象可知：当x＜0或1＜x＜3时，一次函数y=-x+4的图象在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象的上方，
故-x+4＞$\frac{3}{x}$的解集为：x＜0或1＜x＜3．
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．
∵点B（3，1），点B、B′关于x轴对称，
∴点B′（3，-1）．
设直线AB′的表达式为y=mx+n（m≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{3m+n=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴直线AB′的表达式为y=-2x+5．
令y=-2x+5中y=0，则x=$\frac{5}{2}$，
∴点P的坐标为（$\frac{5}{2}$，0）．
S_△PAB=S_△ABB′-S_△PBB′=$\frac{1}{2}$BB′•（x_B-x_A）-$\frac{1}{2}$BB′•（x_B-x_P）=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）联立两函数关系式成方程组求出交点坐标；（2）根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集；（3）找出点P的位置．本题属于中档题，难度不大，解集该题型题目时，通过联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键．