Question

等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是    ．

Answer 1

【答案】分析：作出辅助线OD、OE，证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30°，即可求出OD、OA的比，进而求出内切圆半径、外接圆半径和高的比．
解答：解：如图，连接OD、OE；
因为AB、AC切圆O与E、D，
所以OE⊥AB，OD⊥AC，
又因为AO=AO，
EO=DO，
所以△AEO≌△ADO（HL），
故∠DAO=∠EAO；
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠OAC=60°×=30°，
∴OD：AO=1：2．
有OF=OD，
所以AF=2+1=3，
所以内切圆半径、外接圆半径和高的比是1：2：3．
点评：此题将等边三角形的内切圆半径和外接圆半径综合考查，找到直角三角形，将三角形内切圆和三角形外接圆联系起来是解题的关键．