Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF于点P、G、Q．

（1）求△CEF的周长；

（2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；

（3）连接QE，求证：AQ=EQ．

Answer 1

【答案】（1）△ECF的周长为20；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）想办法证明EB＝EH，FD＝FH，即可解决问题；

（2）通过计算求出CF、DF即可解决问题；

（3）想办法证明△APB∽△QPE，可得∠AEQ＝∠ABP＝45°即可解决问题.

（1）在Rt△ABE和Rt△AHE中，

∵∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH=10，AE=AE，

∴△ABE≌△AHE，

∴BE=HE，同理，DF=FH，

∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20．

（2）∵E是BC中点，

∴BE=EC=EH=5，设DF=FH=x，则CF=10﹣x，

在Rt△ECF中，∵∠C=90°，

∴EF2=EC2+CF2，

∴52+（10﹣x）2=（5+x）2，

解得x=，即DF=，则CF=10﹣=，

∴CF=2DF；

（3）在△BPE和△APQ中，∠EBP=∠QAP=45°，∠BPE=∠APQ，

∴△BPE∽△APQ，

∴=，

即=，

∵∠APB=∠QPE，

∴△APB∽△QPE，

∴∠QEP=∠ABP=45°，

∵∠EAF=45°，

∴∠QEA=∠QAE=45°，

∴AQ=EQ．