Question

18．如图，已知P是正方形ABCD内一点，以点B为旋转中心，将△ABP按顺时针方向旋转使点A与点C重合，这时P点旋转到G点．
（1）设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），在图中用阴影标出△ABP旋转到△CBG的过程中，边PA所扫过区域的面积，并用含a、b的式子表示它S=$\frac{（{a}^{2}-{b}^{2}）π}{4}$；
（2）若PA=$\sqrt{2}$，PB=1，PC=2，连接PG，试猜想△PGC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为将△ABP按顺时针方向旋转使点A与点C重合，即旋转了90°，利用面积差可得边PA所扫过区域的面积=S=S_扇形BAC+S_△CBG-S_△ABP-S_扇形BPG，代入可得结论；
（2）先利用勾股定理得PG=$\sqrt{2}$，根据勾股定理的逆定理可得：△PGC是等腰直角三角形．

解答 解：（1）如图1，由旋转得：∠PBG=∠ABC=90°，BG=PB=b，
△ABP≌△CBG，
∴S=S_扇形BAC+S_△CBG-S_△ABP-S_扇形BPG，
=$\frac{90π•{a}^{2}}{360}$-$\frac{90π•{b}^{2}}{360}$，
=$\frac{（{a}^{2}-{b}^{2}）π}{4}$，
故答案为：$\frac{（{a}^{2}-{b}^{2}）π}{4}$；
（2）如图2，△PGC是等腰直角三角形，
理由是：∵∠PBG=90°，PB=BG=1，
∴△PBG是等腰直角三角形，
∴PG=$\sqrt{2}$，
△PGC中，PC=2，CG=$\sqrt{2}$，
∴PC²=PG²+CG²，
∴△PGC是直角三角形，
∵CG=PG，
∴△PGC是等腰直角三角形．

点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质和判定、扇形的面积，明确旋转前后的边和角对应相等，并熟练掌握扇形面积的计算公式．